Логические схемы

  • На основе логических элементов – логические схемы
  • Полностью эквивалентны логическим формулам
&
Конъюнктор
1
Дизъюнктор
Инвертор
И-НЕ (NAND)
ИЛИ-НЕ (NOR)

Полусумматор

Полусумматор
Электронная логическая схема, выполняющая суммирование двух двоичных разрядов.

a b p s
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
  • a, b – входы
  • Выход s “сумма” – младший разряд
  • Выход p “перенос” – старший разряд.
  • \(s = a \oplus b\)
  • \(p = a \,\&\,b\)

  • \(s = a \oplus b\)

    \(s = (a \,\&\,\overline{b}) \vee(\overline{a} \,\&\,b)\)

  • \(p = a \,\&\,b\)
a b s p

  • \(s = (a \,\&\,\overline{b}) \vee(\overline{a} \,\&\,b)\)

    \(s = (a | (b|b)) | ((a|a) | b)\)

    \((x|(x|y)) = \overline{x} \vee(x\,\&\,y) = \overline{x} \vee y = (x|(y|y))\)

    \(s = (a | (a|b)) | ((a|b) | b)\)

  • \(p = a \,\&\,b\)

    \(p = (a|b)|(a|b)\)

a b s p
SM S P
Изображение на схемах

Сумматор

Сумматор
Электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных кодов.
  • Имеет три входа: a, b и перенос из предыдущего разряда

\(a_i\) \(b_i\) \(p_i\) \(p_{i+1}\) \(s_i\)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
  • \(p_{i+1} = a_i \,\&\,b_i \vee a_i \,\&\,p_i \vee b_i \,\&\,p_i\)
  • \(s_i = (\overline{p_{i+1}} \vee a_i \,\&\,b_i \,\&\,p_i) \,\&\,(a_i \vee b_i \vee p_i) = a_i \oplus b_i \oplus p_i\)

  • \(p_{i+1} = a_i \,\&\,b_i \vee a_i \,\&\,p_i \vee b_i \,\&\,p_i\)
  • \(s_i = (\overline{p_{i+1}} \vee a_i \,\&\,b_i \,\&\,p_i) \,\&\,(a_i \vee b_i \vee p_i) = a_i \oplus b_i \oplus p_i\)
ai bi pi pi+1 si

Можно получить, соединив два полусумматора

pi ai bi si pi+1
pi ai bi si pi+1
SM S P
Изображение на схемах
0 a0 b0 s0 a1 b1 s1 a2 b2 s2 a3 b3 s3 P
Многоразрядный сумматор
  • первый “перенос” (вход) = 0
  • последний “перенос” (выход) \(P\) – признак переполнения.

Триггеры

Триггер
Логический элемент, способный хранить один разряд двоичного числа.

RS-триггер

R S Q Q
R S Q
0 0 Q
0 1 1
1 0 0
1 1 🕱

SR-триггер

S R Q Q
R S Q
0 0 🕱
0 1 0
1 0 1
1 1 Q

D-триггер

E D Q Q
E D Q
0 0 Q
0 1 Q
1 0 0
1 1 1

JK-триггер

K J E Q Q
E J K Q
0 0 0 Q
0 0 1 Q
0 1 0 Q
0 1 1 Q
1 0 0 Q
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 Q

T-триггер

  • Получается из JK \(J=K=T\).
  • Переключает состояние при \(T=1\).
  • Можно сделать простейший счетчик, соединив выход одного T-триггера со входом E другого.

Мультиплексор

Мультиплексор
логический элемент, имеющий несколько сигнальных входов, один (или более) управляющих входов и один выход
позволяет передавать сигнал с одного из входов на один выход
S A B Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

\(Z = (A \,\&\,\overline{S}) \vee(B \,\&\,S)\)

\(Z = (A | (S|S)) | (B | S)\)

A B Z S
MS A B S
Изображение на схемах

Демультиплексор

Демультиплексор
логический элемент, предназначенный для переключения сигнала с одного входа на один из выходов.
функционально противоположен мультиплексору
S X A B
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 1 0 1

\(A = X\,\&\,\overline{S}\)
\(B = X\,\&\,S\)

\(A = (X|(S|S))|(X|(S|S))\)
\(B = (X|S)|(X|S)\)

\(A = (X|(X|S))|(X|(X|S))\)
\(B = (X|S)|(X|S)\)

S X B A
DX A B X S
Изображение на схемах