Преобразование из 10-й в P-ичную

Для преобразования из 10-й системы в P-ичную, как показано в лекциях, последовательно делим десятичное число с остатком на основание P, результат опять делим на основание P и так далее. Число получается из остатков, начиная с последнего.

Простейший случай: перевод в двоичную систему счисления.

Пример:

Переведем \(230_{10}\) в двоичную систему счисления

частное	остаток
230	0
115	1
57	1
28	0
14	0
7	1
3	1
1	1

С конца записываем число:

\[230_{10} = 11100110_2\]

Преобразование P-ичной в 10-ю

Как показано на лекциях, каждая цифра P-ичного числа переводится в 10-ю систему, и умножается на степень P, соответствующую разряду.

Простейший случай: перевод из двоичной системы счисления, поскольку в двоичной системе счисления есть только цифры 0 и 1, следовательно, соответствующая степень двойки либо входит в результат со множителем 1, либо не входит вовсе.

Пример:

\(11100011_2\) переведем в десятичную систему.

Подпишем “стоимости” соответствующих разрядов:

\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(2^7\)	\(2^6\)	\(2^5\)	\(2^4\)	\(2^3\)	\(2^2\)	\(2^1\)	\(2^0\)
\(128\)	\(64\)	\(32\)	\(16\)	\(8\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)

Теперь складываем:

\[11100011_2 = 128+64+32+2+1 = 227_{10}\]

Пример:

\(ACF_{16}\) переведем в 10-ю.

\(A\)	\(C\)	\(F\)
\(16^2\)	\(16^1\)	\(16^0\)
\(256\)	\(16\)	\(1\)

Переводим каждую цифру в десятичную: \(A_{16} = 10\), \(C_{16} = 12\), \(F_{16}=15\)

\(10\)	\(12\)	\(15\)
\(16^2\)	\(16^1\)	\(16^0\)
\(256\)	\(16\)	\(1\)

Складываем:

\(ACF_{16} = 256\cdot 10 + 12\cdot 16 + 15 = 2767_{10}\)

Преобразование между P-ичной и Q-ичной, где \(Q=P^k\)

Как показано на лекциях, каждая цифра Q-ичной системы счисления преобразуется в \(k\) цифр P-ичной системы счисления.

Наиболее часто это используется при преобразовании между двоичной и восьмеричной или шестнадцатеричной системами счисления.

Например:

Преобразуем число \(AF0_{16}\) в двоичную систему счисления.

\[A_{16} = 1010_{2}\] \[F_{16} = 1111_{2}\] \[0_{16} = 0000_{2}\] \[AF0_{16} = 101011110000_{2}\]

Преобразуем число \(100011_{2}\) в 16-ричную:

\[ 0010_{2} = 2_{16} \] \[ 0011_{2} = 3_{16} \]

\[100011_{2} = 23_{16}\]

Преобразуем число \(100011_{2}\) в 8-ричную:

\[100_{2} = 4_{8}\] \[011_{2} = 3_{8}\] \[100011_{2} = 43_{8}\]

Таблицы перевода между 2-чной 8-чной и 16-чной системами строятся достаточно легко, однако приводятся здесь для полноты:

Двоичная	Восьмеричная
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Двоичная	Шестнадцатеричная
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F